PrometheusCore
Автор: Дубко Михаил - разработчик PromCore
Математическая модель нейронной сети по выявлению сингулярно-подобных зон армирования
в результатах конечно-элементного расчёта
Статья подготовлена по результатам анализа реализованного показателя As5 и описывает математическую основу, входные признаки и порядок формирования обучающей выборки для последующего обучения нейронной сети.
Аннотация
В работе рассматривается модуль анализа сингулярно-подобных зон As5, разработанный для SmartRebar в программе PromCore. Сформулирована гипотеза: если геометрия, закрепления и сетка конечных элементов остаются неизменными, то при пропорциональном изменении нагрузки карта As5 должна сохранять свою структуру даже при заметном изменении величин требуемого армирования. Показано, что такой вывод следует из самой структуры показателя As5: он построен на безразмерных отношениях "ячейка - соседи" и потому не зависит от простого умножения всех значений армирования на один и тот же коэффициент. На примере двух расчётов с нагрузками 1,2 и 3,0 Т/м2 видно, что распределение As4 меняется существенно, тогда как карта As5 остаётся близкой по очертанию и положению характерных зон. В настоящей статье под математической моделью нейронной сети понимается математическое описание признаков, по которым формируется обучающая выборка, и целевого показателя As5, который затем должен воспроизводиться нейронной сетью.
1. Введение
При линейной работе расчётной схемы увеличение нагрузки обычно приводит к пропорциональному увеличению усилий, напряжений, деформаций и требуемого армирования. Однако локальные сингулярности и сингулярно-подобные участки определяются не только уровнем нагрузки, но прежде всего особенностями геометрии, закрепления, приложением сосредоточенных воздействий и строением конечно-элементной сетки [1], [2].
В разработанном модуле анализа SmartRebar задача поставлена не как поиск "точной" сингулярности в строгом математическом смысле, а как выявление ячеек, для которых поле армирования выглядит локально неустойчивым: резко выбивается из окружающего фона, слабо поддержано соседними ячейками или расположено вблизи краёв, отверстий и разрывов плиты. Именно такие зоны в инженерной практике требуют дополнительной проверки.
Далее приводится математическое описание показателя As5, объясняется смысл всех обозначений и численных коэффициентов, а также даётся доказательство того, почему при простом масштабировании нагрузки карта As5 сохраняется.
2. Постановка гипотезы
Рассмотрим два расчётных случая для одной и той же плиты. Пусть геометрия, закрепления, отверстия, положение опор и сетка конечных элементов одинаковы, а меняется только интенсивность нагрузки. Обозначим через A1(x), A2(x), A3(x), A4(x) требуемое армирование в одной и той же ячейке x по четырём направлениям. Предположим, что во втором случае все эти величины умножаются на один и тот же коэффициент k > 0:
A1^(2)(x) = k * A1^(1)(x), A2^(2)(x) = k * A2^(1)(x)
A3^(2)(x) = k * A3^(1)(x), A4^(2)(x) = k * A4^(1)(x)
Гипотеза исследования формулируется так: если входные поля армирования изменяются только пропорционально, то карта As5 должна сохранять свои очертания и распределение классов по ячейкам. Иначе говоря, абсолютные значения As4 могут сильно меняться, но расположение "подозрительных" зон при неизменной сетке должно оставаться практически тем же.
3. Определение показателя As5
3.1. Исходные величины
Для каждой ячейки берутся четыре значения армирования: A1, A2, A3 и A4. Из них выбирается наибольшее значение D - доминирующее армирование в данной ячейке. Величина B - второе по величине значение из тех же четырёх направлений. Следовательно, показатель As5 всегда анализирует не "среднее по всем направлениям", а то направление, которое в данной ячейке является главным.
D = max(A1, A2, A3, A4)
B = второе по величине из A1, A2, A3, A4
После выбора доминирующего направления рассматривается его локальная окрестность из восьми соседних ячеек. Из неё формируется множество O(x) только из тех соседей, где значение существует и является допустимым.
O(x) = { a_j : a_j - значения доминирующего направления в соседних ячейках,
если эти значения определены }
Далее вводятся следующие обозначения:
Nср - среднее значение по допустимым соседям
Nср = (1 / nвал) * sum(a_j), a_j ∈ O(x)
Nmax - наибольшее значение среди допустимых соседей
Nmax = max(a_j), a_j ∈ O(x)
nвал - число допустимых соседей. Оно меняется от 0 до 8. Если ячейка находится у края плиты, у отверстия или у разрыва поля, то nвал уменьшается
nсил - число "сильных" соседей, то есть таких соседних ячеек, где значение не меньше 65 процентов от доминирующего значения в рассматриваемой ячейке
nсил = количество a_j, для которых a_j >= 0,65 * D
Для краткости далее используется оператор ограничения значения в интервале от 0 до 1:
ogr(x) = max(0, min(1, x)).
В статье ogr(x) рассматривается как обычная математическая функция ограничения, а не как обозначение, связанное с какой-либо математической функцией.
3.2. Частные безразмерные показатели
Показатель контраста C характеризует, насколько доминирующее значение D превышает средний фон соседних ячеек:
C = ogr(((D - Nср) / max(Nср, e)) / 2,50)
Показатель резкого спада R характеризует, насколько рассматриваемая ячейка "обрывается" по сравнению с наибольшим соседним значением:
R = ogr(((D - Nmax) / max(D, e)) / 0,55)
Показатель изолированности I показывает, хватает ли вокруг ячейки сильных соседей:
I = ogr((3 - nсил) / 3)
Показатель краевого влияния E зависит от числа допустимых соседей:
E = ogr((8 - nвал) / 8)
Показатель направленного преобладания M учитывает, насколько доминирующее направление превосходит второе по величине:
M = ogr(((D - B) / max(D, e)) / 0,80)
Показатель нерациональной формы Q зависит только от числа сильных соседей и задаётся ступенчато:
Q = 1,00 при nсил <= 1
Q = 0,65 при nсил = 2
Q = 0,30 при nсил = 3
Q = 0,00 при nсил >= 4
3.3. Разъяснение констант
Числа 2,50; 0,55; 3; 0,80, а также ступени 1,00; 0,65; 0,30; 0,00 не являются универсальными физическими постоянными. Это калибровочные параметры конкретного алгоритма, введённые в разработанной реализации для разделения характерных случаев.
Число 2,50 в формуле для C означает, что показатель контраста насыщается при превышении локального среднего примерно в 2,5 раза. Тем самым умеренный локальный подъём ещё не считается признаком ярко выраженной неустойчивости, а очень сильный выброс переводит показатель C к единице.
Число 0,55 в формуле для R означает, что показатель спада становится близок к единице, когда даже лучший сосед уступает рассматриваемой ячейке примерно на 55 процентов. Это соответствует ситуации резкого одиночного пика армирования.
Число 3 в формуле для I задаёт минимально желательное количество сильных соседей. Если таких соседей три и более, локальный подъём считается поддержанным окрестностью; если их меньше, показатель изолированности растёт.
Число 0,80 в формуле для M означает почти полное направленное преобладание одного из четырёх значений над остальными. Этот показатель нужен для случаев, когда в одной и той же ячейке одно направление армирования резко выделяется.
Ступенчатая функция Q отражает простую инженерную логику: если сильных соседей один или ни одного, форма пятна максимально подозрительна; если их четыре и более, форма считается рациональной.
Весовые коэффициенты также являются параметрами калибровки. В реализованной версии они нормируются так, чтобы их сумма была равна единице, а наибольший вклад в итоговый показатель вносили контраст и резкий спад как наиболее характерные признаки локального выброса:
wC = 0,34, wR = 0,26, wI = 0,18
wE = 0,10, wM = 0,07, wQ = 0,05
3.4. Итоговый показатель и классы
P = ogr(wC * C + wR * R + wI * I + wE * E + wM * M + wQ * Q)
As5 = 100 * P
После этого каждой ячейке присваивается один из пяти классов:
0-20 - устойчиво; 20-40 - контраст; 40-60 - нерациональность; 60-80 - возможно артефакт; 80-100 - локальный пик.
4. Доказательство инвариантности при пропорциональном изменении нагрузки
Пусть во втором расчёте все четыре значения армирования во всех ячейках умножены на одно и то же число k > 0. Тогда доминирующее и второе значения также умножаются на k:
D^(2) = k * D^(1), B^(2) = k * B^(1).
Точно так же на k умножаются и все значения в локальной окрестности, следовательно:
Nср^(2) = k * Nср^(1), Nmax^(2) = k * Nmax^(1).
Числа nвал и nсил при этом не меняются. Действительно, допустимость соседней ячейки определяется наличием значения, а не его величиной. Условие "сильного" соседа тоже сохраняется, поскольку и соседнее значение, и доминирующее значение умножаются на один и тот же коэффициент k.
a_j^(2) >= 0,65 * D^(2) <=> k * a_j^(1) >= 0,65 * k * D^(1) <=> a_j^(1) >= 0,65 * D^(1)
Поэтому для всех частных показателей получаем:
C^(2) = C^(1), R^(2) = R^(1), I^(2) = I^(1)
E^(2) = E^(1), M^(2) = M^(1), Q^(2) = Q^(1)
Так как итоговый показатель As5 является взвешенной суммой этих безразмерных величин, то сохраняются и P, и As5, и сам класс ячейки. Следовательно, при линейном пропорциональном изменении нагрузки карта As5 теоретически должна оставаться неизменной.
5. Сопоставление двух расчётных случаев
Для проверки гипотезы были сопоставлены два расчётных случая при одинаковой геометрии, одинаковой сетке конечных элементов и одинаковой схеме, но при существенно разных нагрузках: 1,2 Т/м2 и 3,0 Т/м2. Особое внимание уделено направлению As4.
На рисунке 1 видно, что поле As4 имеет выраженные локальные пики и широкие области низких значений:
Рисунок 1 - Поле требуемого армирования As4 при нагрузке 1,2 Т/м2.
На рисунке 2 видно, что абсолютные значения As4 и высота пиков заметно возрастают, однако геометрия характерных зон остаётся сходной:
Рисунок 2 - Поле требуемого армирования As4 при нагрузке 3,0 Т/м2.
На рисунке 3 приведена карта As5 для первого случая. Основная часть плиты относится к устойчивому уровню, а локальные участки повышенной подозрительности сосредоточены вблизи тех же областей, где в поле As4 наблюдаются резкие локальные подъёмы:
Рисунок 3 - Карта As5 для случая с нагрузкой 1,2 Т/м2.
На рисунке 4 показана карта As5 для второго случая. Несмотря на существенное увеличение значений As4, распределение подозрительных областей остаётся близким к рисунку 3:
Рисунок 4 - Карта As5 для случая с нагрузкой 3,0 Т/м2.
Сопоставление рисунков 1 и 2 показывает, что величины As4 действительно меняются резко. Сопоставление рисунков 3 и 4 показывает, что карта As5 меняется намного слабее и сохраняет близкое расположение локальных зон. Таким образом, наблюдение на численном примере согласуется с приведённым выше доказательством.
6. Обсуждение результатов
Полученный результат важен с практической точки зрения. Он означает, что модуль As5 реагирует не на сам факт большого значения армирования, а на структуру локальной окрестности - насколько ячейка выделяется относительно соседей, насколько она поддержана окружающими значениями и насколько близка к краю или разрыву поля.
Именно поэтому карта As5 может служить средством предварительной оценки зон, которые требуют повторной инженерной проверки. При этом следует подчеркнуть, что As5 не доказывает существование математической сингулярности в строгом смысле. Он выделяет участки, где решение имеет признаки локальной неустойчивости или численного артефакта.
Выбранные коэффициенты не являются раз и навсегда заданными. Они могут уточняться по мере накопления расчётных примеров. Однако сама структура показателя - использование безразмерных отношений и локальной окрестности - обеспечивает его устойчивость к пропорциональному изменению нагрузки.
7. Выводы
1. Показатель As5 строится по четырём полям армирования, но для каждой ячейки анализирует локальную окрестность доминирующего направления.
2. Величины Nср, Nmax, nвал и nсил определяются однозначно по соседним ячейкам и не зависят от единиц измерения.
3. Числа 2,50; 0,55; 3; 0,80 и весовые коэффициенты являются параметрами калибровки метода, а не физическими постоянными.
4. При пропорциональном изменении нагрузки частные безразмерные показатели сохраняются, поэтому карта As5 теоретически остаётся неизменной.
5. Сопоставление двух расчётных случаев с нагрузками 1,2 и 3,0 Т/м2 подтверждает этот вывод - поле As4 меняется сильно, а карта As5 остаётся близкой по строению.
8. Формирование обучающей выборки и последующее обучение нейронной сети
Предлагаемый показатель As5 может использоваться не только как самостоятельный расчётный показатель, но и как целевой признак для последующего обучения нейронной сети. В этом случае каждая ячейка расчётной сетки рассматривается как отдельный обучающий пример, а рассчитанный показатель As5 и присвоенный класс используются как ожидаемый выход модели.
В простейшем варианте для каждой ячейки в обучающую таблицу записываются следующие входные параметры: A1, A2, A3, A4; доминирующее значение D; второе по величине значение B; среднее по соседям Nср; наибольшее соседнее значение Nmax; число допустимых соседей nвал; число сильных соседей nсил; частные показатели C, R, I, E, M, Q. В качестве выходных параметров записываются: итоговый балл As5 в диапазоне от 0 до 100 и класс ячейки: устойчиво, контраст, нерациональность, возможно артефакт, локальный пик.
Практически такая выборка может накапливаться в виде строки таблицы для каждой ячейки сетки. Для хранения пригодны форматы CSV, JSON или база данных. Минимальный состав полей одной записи может быть представлен так:
№ ячейки; координаты x, z; A1; A2; A3; A4; D; B; Nср; Nmax; nвал; nсил; C; R; I; E; M; Q; As5; класс.
Если требуется учитывать не только локальные признаки одной ячейки, но и форму окружающего поля, то в обучающую выборку дополнительно могут включаться дополнительные параметры. Однако для первой версии модели достаточно указанного набора параметров, поскольку он уже отражает локальный контраст, резкость спада, изолированность и краевое влияние.
Примерная структура нейронной сети может быть следующей. Для табличного набора признаков применяется полносвязная сеть прямого распространения: входной слой по числу признаков; далее два-три скрытых слоя, например 64, 32 и 16 нейронов; на выходе либо одно число As5, если решается задача прогноза балла, либо пять выходов, если решается задача отнесения к классам. В более сложном варианте можно использовать сеть, которая принимает сразу карты A1-A4 как многоканальное поле, однако это требует большего объёма данных.
С научной точки зрения настоящий показатель As5 играет роль учителя первого уровня: он формирует разметку и задаёт математический язык признаков. После накопления достаточного количества расчётных примеров нейронная сеть может быть обучена воспроизводить эту оценку автоматически и затем уточняться по экспертным примерам.
Показатель As5 может служить математической основой для формирования обучающей выборки и последующего обучения нейронной сети по выявлению сингулярно-подобных зон армирования.
Список источников
[1] J. R. Barber. Linear Elastostatics. URL: https://websites.umich.edu/~jbarber/UNESCO.pdf
[2] COMSOL Blog. Singularities in Finite Element Models: Dealing with Red Spots. URL: https://www.comsol.com/blogs/singularities-in-finite-element-models-dealing-with-red-spots
